高中数学第二章2.4《正态分布》（选修2-3）
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《正太分布》 知道回顾 1.频率分布直方图与总体密度曲线。 2.总体密度曲线的形状特征。 1.正态分布与正态曲线 产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的总体密度曲线，一般就是或近似的是以下函数有图像： f（x）=1/√（2πσ）e-（x-μ）2/2σ2，x∈（-∞，+∞） 式中的实数μ、σ（σ﹥0）是参数，分别表示总体的平均数与标准差，其分布叫做正态分布，由参数μ、σ唯一确定。正态分布常记作N（μ、σ2）。它的图像被称为正态曲线。 2.正态分布的期望与方差 若ξ～N（μ、σ2），则ξ的期望与方差分布为：Eξ=μ，Dξ=σ2 f（x）=1/√（2πσ）e-（x-μ）2/2σ2，x∈（-∞，+∞） 例1：给出下列两个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ。 （1）f（x）=1/√（2π）e-x2/2，x∈（-∞，+∞） （2）f（x）=1/2√（2π）e-（x-2）2/8，x∈（-∞，+∞） （3）f（x）=2/√（2π）e-2（x+1）2/，x∈（-∞，+∞） 正态分布 当μ=0，σ=1时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示是f（x）=1/√（2π）e x2/2，x∈R，相应的曲线称为标准正态曲线。 观察以上三条正态曲线，归纳出正态曲线图的性质： ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交。 ②曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ时位于最高点。 ③当时x＜μ，曲线上升；当时x﹥μ，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。 ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 例2.下列关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ） （1）曲线关于直线x=μ对称，这个曲线只在x轴上方； （2）曲线关于y轴对称。因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数； （3）曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低； （4）曲线的对称轴由μ确定，曲线的形态由σ确定； （5）σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”。总体分布越集中。 例3.把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位、得到一个新的曲线b、下列说法不正确的是 （A）曲线b仍然是正态曲线； （B）曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等； （C）以曲线a为概率密度曲线的总体的方差比以曲线b为概率密度曲线的总体的方差大2； （D）懭曲线a为概率密度曲线的总体的期望比以曲线b为概率密度曲线的总体的期望小2。 3σ原则 （1）正态分布在三个特殊区间的概率值 p（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826 p（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544 p（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974 例4、商场经营的某种包装大米质量服从正态分布N(10、0.12)。任选一袋这种大米，质量在（9.8、10.2）的概率是多少？ 解：要求质量在（9.8、10.2）的概率，需要转化为（μ-2σ，μ+2σ）的形式。 p（10-2×0.1＜X＜10+2×0.1）=0.9544 思考题：正态总体N（0.1）的概率密度函数是： f（x）=1/√（2πσ）e-（x-μ）2/2σ2 （1）求证：f（x）是偶函数； （2）求f（x）的最大值； （3）求f（x）的单调区间。
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