高中数学第二章2.3《离散型随机变量的均值》（选修2-3）
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《离散型随机变量的均值》
一、引例
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
（-，x）=(1+1+1+1+2+2+2+3+3+4)/10=2
把环数看成随机变量的概率分布列：
X
1
2
3
4
P
4/10
3/10
2/10
1/10
（-，X）=1×4/10+2×3/10+3×2/10+4×1/10=2
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合粮果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X
18
24
36
P
3/6
2/6
1/6
（-，X）=18×1/2+24×1/3+36×1/6=23（元/kg）
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
EX=x1P1+x2P2+…+xiPi+…xnPn
思考：
设Y=ax+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量。
（1）Y的分布列是多少？
（2）EY=？
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
ê
X
x1
x2
…
xi
…
xn
Y
ax1+b
ax2+b
…
axi+b
…
axn+b
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
Ey=（ax1+b）P1+（ax2+b）P2+…+（axn+b）Pn
=a（x1P1+x2P2+…+xnPn）+b（P1+P2+…Pn）
=aEX+b
三、例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中的0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
小结：一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X
1
0
P
P
1-P
则EX=1×P+0×（1-P）P
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望。
解：（1）X～B（3，0.7）
X
0
1
2
3
P
0.33
C130.7.0.32
C230.72.0.3
0.73
（2）EX=0×0.33+1×C130.7.0.32+2×C230.72.0.3+3×0.73
EX=2.1
小结：
一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则EX=nP
证明：服从二项分布ζ=np 提示：kCkn=nCk-1n-1
证明：P（ζ=k）=CknPk（1-p）n-k=CknPkqn-k
Eζ=0×C0nP0qn+1×C1nP1qn-1+…+kCknPkqn-k+…+CnnPnq0
=np（C0n-1P0qn-1+C1n-1P1qn-1+…+kCk-1n-1P-1kqn-k-（k-1）+…+Cn-1n-1Pn-1q0）
=nP（P+q）n-1=nP
所以，若ζ～B（n，P），则Eζ=np
例3：
一次英语单元测验由20个选择题结成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中，对每题都从4个选项中随机的选择一个。求学生甲和乙这次英语单元测验中的成绩的期望。
解：设X1表示甲选对的题数、X2乙选对的题数，它们都满足二项分布：
X1～B（20，0.9） X2～B（20，0.25）
所以：EX1=np=20×0.9=18
EX2=np=20×0.25=5
甲所得分数的期望为：18×5=90
乙所得分数的期望为：5×5=25
例4，决策问题：
根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
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