高中数学第一章1.3《二项式定理》（选修2-3）
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《二次式定理》 回顾： （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b） =（a+b）（a+b）（a+b） =a3+a2b+aba+ab2+ba2+bab+b2a+b3 =a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=? （a+b）100=? 尝试二项式定理的发现： 观察下面两个公式，从右边的项数，每项的次数、系数进行研究，你会发现什么规律？ （a+b）2=a2+2ab+b2=C02a2+C12ab+C22b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=C03a3+C13ab+C23ab2+C33b3 项数比左边次数多1；每项次数均为左边指数，a，b指数降b升到 系数： C02，C12，C22，C03，C13，C23，C33 猜想：（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）展开后，会是什么样的呢？你能从项数，次数、系数这几个方面谈一谈吗？ ①展开式中，每一项是怎样得到的？ ②既然这样，每一项的次数都应为几次？（4次）展开后具有哪些形式的项呢？（a4，a3b，a2b2，a2b2，ab2，b4） ③每一项在展开式中出现多少次，也就是展开式中各项系数为什么？ 探索：（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）在上面4个括号中： 每个都不取b，有C04种取法，a4的系数C04 恰有1个取b，有C14种取法，a3b的系数C14 恰有2个取b，有C24种取法，a4b2的系数C24 恰有3个取b，有C34种取法，ab3的系数C34 4个取b，有C44种取法，b4的系数C44 因此：（a+b）4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44+b4 特点：项数比次数多1；每项次数为左边指数4，a降b升；系数为：C04，C14， C24，C24，C44 按上述规律，我们能将（a+b）n展开吗？ （一）二项式定理 （a+b）n =C0na2+C1nan-1b+C2nnn-2b2+…+Crnan-rbr+Cnnbn 左边多项式叫做（a+b）n的二项展开式； C0n，C1n，C2n，…Cnn叫二项式系数； Crnan-rbr叫做二项展开式的通项， 注意： 1、弄清结构定理自我特征：项数：n+1 次数：n，a降b升,和为n 系数：Crn 2、二项式系数的系数不同 二项系数的组合数，而项的系数是该项数字因数。 3、①通项公式可用求展开式中任意一项，求时必需明确r=？，一般地，比所说的第几项少1 ②通项是针对（a+b）n的标准形式而言，而（b+a）n，（a-b）n的通项则分别为：Tr+1=Crnbn-rar；Tr+1=Crnan-r（-b）r 4、在定理中，令a=1，b=x,则 （1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Crnxr+Cnnxn
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