高中数学第二章2.3《离散型随机变量的方差》（选修2-3）
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《离散型随机变量方差》
一、复习：
1、离散型随机变量X的均值（数学期望）
WX=（n Σi=1）XiPi均值反映了离散型随机变量取值的平均水平。
2、性质——线性性质
E（aX+b）=aEX +b
3、两种特殊分布的均值
（1）若随机变量X服从两点分布，则EX=P
（2）若X～B（n，p）,则EX=nP
二、探究
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，第一名，同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1
5
6
7
8
9
10
P
0.03
0.09
0.20
0.31
0.27
0.10
第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为
X2
5
6
7
8
9
P
0.01
0.05
0.20
0.41
0.33
请问应该派哪名同学参赛？
三、新课分析
（一）定性分析
思考：除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？
（1）分别画出X1，X2的分布理列图。
（2）比较两个分布列图形，哪一名，同学的成绩更稳定？第二名同学的成绩更稳定。
2、定量分析
思考：怎样定量刻画随机变量的稳定性？
（1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？ 方差
（2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢？
（3）随机变量X的方差
设离散型随机变量X的分布列为
X
X1
X2
…
Xi
…
Xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
则（xi-EX）2描述了xi（i=1，2，…，n）相对于均值EX的偏离程度。
而DX=（n Σi=1）2Pi,为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度。我们称Dx为随机变量X的方差。其算术平方根√DX为随机变量X的标准差，记为σX
2、对方差的几点说明
（1）随机变量的方差和标准差都反映了，随机就是取值偏离于均值的平均程度。方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小。
（2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量。
对于笑意随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差。
（二）、公式运用
1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差
X1
5
6
7
8
9
10
P
0.03
0.09
0.20
0.31
0.27
0.10
X2
5
6
7
8
9
P
0.01
0.05
0.20
0.41
0.33
DX1=（10 Σi=5）（i-8）2P（x1=i）=1.50，DX1=（9 Σi=5）（i-8）2P（x2=i）=0.82
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右。
2、两个特殊分布的方差
（1）若X服从两点分布，则DX=P（1-P）
（2）若X～B（n，p），则DX=np（1-p）
3、方差的性质
D（aX +b）=a2DX
（四）、小结
1、熟记方差计算公式：DX=（n Σi=1）（xi-EX）2Pi,
2、求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：
①理解X的意义，写出X可能取的全部值；
②求X取得各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出EX；
④根据方差、标准差的定义求出DX、σX。
3、能熟练地直接运用特殊分布的方方差公式
（1）若X服从两点分布，则DX=p（1-p）
（2）若X～B（n,p）则DX=np（1-p）
4、掌握方差的线性变化性质
D（ax+b）=a2Dx
5、对于两个随机变量X1和X2在EX1与EX2基相等或很接近时，比较DX1和DX2，可以确哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。
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