高中数学第三章3.2《复数代数表形式的四则运算》（选修2-2）
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《复数代数表形式的四则运算》 一、复习回顾 1、设Z1=a+bi，Z2=c+di，则Z1-Z2分别等于什么？ Z1±Z2=（a±c）+（b±d）i。 2、设Z1，Z2为复数，则∣Z1-Z2∣的几何意义是什么？ 复数Z1，Z2对应复平面内的点之间的距离。 二、问题探究 设Z1=a+bi，Z2=c+di是任意两个复数 （a+bi）（c+di）=ac+adi+dci+bdi2=（ac-bd）+（bc+ad）i （1）复数的乘法与多项式的乘法类似，只要在怕得结果中把i2换成-1，然后实部，虚部分别合并。 （2）两个复数的积仍然是一个复数。 （二）复数的乘法运算律 对于任意Z1，Z2，Z3，∈C （1）Z1.Z2=Z2.Z1 （2）（Z1.Z2）.Z3=Z1.（Z2.Z3） （3）Z1+（Z2+Z3）=Z1Z2+Z1Z3 复数的乘法满足交换律、结合律和对加法的分配。 三、典型例题 例1：计算 （1）（a+bi）（a+bi） a2+b2 （2）（a+bi）2（a2+b2）+2abi a+bi与a-bi （三）共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 虚部不为零有两个共轭复数也叫做共轭虚数。 复数Z=a+b1的共轭复数记作（-，Z），即（-，Z）a-bi 问题1：一对共轭复数平面内所对应点的位置关系如何？ 关于实轴对称 问题2：若Z=（-，Z）则复数Z具有什么特征？ Z为实数 问题3：设Z=a+bi （a，b∈R），那么Z+（-，Z）=？Z-（-，Z）=？ （四）复数的除法法则 设复数Z1=a+bi， Z2=c+di （c+di≠0）， 求Z1÷Z2？ （a+bi）/（c+di）=（a+bi）（a-di）/（c+di）（c-di）=（ac+bd）/（c2+d2）+（bc-ad）/（c2+d2）i 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母有共轭复数，化简后写成代数形式（分母实数化） 两个复数相除（除数不为0），所得的商一还是一个复数。 【探究】i的指数变化规律 i1=i， i2=-1， i4=1 i5= ，i6= ，i7= ，i8= i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1,i4n+3=-i 【例2】求值：i+i2+i3+……+i2006 解：原式=（i+i2+i3+i4）+（i5+i6+i7+i8）+…+（i2001+i 2002+i2003+i2004）+i2005+i2006=0+i1+i2=i-1 例3：设Z=（1+2i）÷（3-4i）×（1+i）2求（-，Z）。 （-，Z）=-4/5+2/5 i 例4：复数Z满足（1+2i）（-，Z）=4+3i，求Z Z=2+i 例5：设复数Z=（√3+mi）/（3+√3i）,若Z为纯虚数，求实数m的值。 m=-3 例6：已知方程x2-2x+2=0有两虚数根为x1,x2，求x14+x24的值。 解：∵x1，2=1±i, ∴x14+x24=（1+i）+（1+i）4=（2i）2+（-2i）2=-8。 课堂小结 1.复数的乘法法则类似于两个多项式相乘，展开后要把i2换成-1，并将实部与虚部分别合并。 2.复数的除法法则类似于两个根式的除法运算，一般先将除法运算式写成分式，再将分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，分子按乘法法则运算。 3.对复数的乘法、除法运算要求掌握它们的算法，不要求记忆运算分工，对复数式的运算结果，一般要化为代数式。
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