高中数学第三章3.2《角的向量计算方法》（选修2-1）
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《角的向量计算方法》 回顾异面直线所成夹角的计算步骤 如图，在正方形ABCD—A'B'C'D'中，B1E1=D1F1=A1B1/4=1 求BE1与BF1所成的角的余弦值。 (→，E1B)=（4，4，0）-（4，3，4）=（0，1，-4）， (→，DF1)=（0，2，2）-（0，0，0）=（0，1，4), (→，BE1).(→，DF1)=0×0+1×1+（-4）×4=-15 ∣(→，BE1)∣√17，∣(→，DF1)∣=√17. cos＜<(→，BE1),(→，DF1)>﹥(→，BE1).(→，DF1)/∣(→，BE1)∣.∣(→，BF1)∣=-15/√17×√17=-15/17 1.1直线和平面所成的角的定义 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个面所成的角。 ∠AOB（记为θ）是a与α所成的角 规定：直线和平面垂直：所成的角是直角直线和平面平行或平面内，θ＝0° 斜线和平面成角0°＜θ＜0° 直线和平面成角0°≤θ≤90° 1.2直线和平面的所成的角的向量计算公式 AO是平面α的斜线，A是人斜足，OB垂直于α，B为垂足，则直线AB是斜线OA在平面α的射影，(→，N)⊥α，(→，N)称为平面α的一个法向量。 sinθ1=cos（90°-θ1） =∣cos<(→，OA,)(→，N)>∣=∣(→，OA,).(→，N)∣/∣(→，OA,)∣∣(→，N)∣ 即sinθ1=∣(→，OA,).(→，N)∣/∣(→，OA,)∣∣(→，N)∣ 1.3直线和平面所成的角的向量计算示例 例1，在正方体AC1中，E是CD的中点，求AE与平面BCC1B1所成的角的正弦值。 解：如图在玉体AC1中建立空间直角坐标系，不妨设正方体AC1的村长为2，则E（0，——0）A1（2，0，2） ∴(→，EA1)＝（2，1，2） 易知，平面BCC1B1的一个法向量为(→，n)=(→，aCD)=（0，-2，0） 设A1E与平面BCC1B1所成的角为θ sinθ1=∣(→，EA1).(→，n)∣/∣(→，EA1)∣∣(→，n)∣=1/3 2.1、二面角及二面角的平面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个平面叫做二面角的面。 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两个射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 2.2、二面的向量计算公式 (→，m)是平面α的一个法向量，(→，n）是平面β的一个法向量，二面角的大小与两法向量所成角相角相等或互补。 锐二面角θ：cosθ=∣cos<(→，m)，(→，n)>∣ =∣(→，m).(→，n)∣/∣(→，m)∣∣(→，n)∣ 对于钝二面角的计算其余弦值必为负。 当然若能直接得到二面的平面角两边应的向量更好。 例2。如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正文形，侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别为AB、SC的中点，设SD=2DC，求二面角A-EF-D的余弦值。 解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz。 由于底面ABCD为正方形，SD=2DC，不妨设A（2，0，0）则 B（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，4），E（2，1，0），F（0，1，2） ∴(→，DE）=（2，1，0），(→，EF）=（-2，0，2），(→，AE）=（0，1，2） 设(→，n）=（x，y,z）为平面DEF的法向量。 则2x+y=0，-2x+2z=0=>(→，n)=（1，-2，1） 设(→，m)=（t,u,v）为平面AEF的法向量。 则u=0，-2t+2v=0=>(→，m)=（1，0，1） ∴∣cos<(→，n)，(→，m)>∣=∣(→，n).(→，m)∣/∣(→，n)∣∣(→，m)∣=√3/3
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