高中数学第三章3.1《空间向量的数量积运算》（选修2-1）
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《空间向量的数量积运算》 学习目标 1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。 重点：两个向量的数量积的计算及其应用。 难点：两个向量数量积的几何意义。 知识要点 （1）两个向量的夹角的意义 如图，已知两个非零向量(→，a)，(→，b)在空间任取一点O，作(→，A)=(→，a)，(→，OB)=(→，b)，则角∠AOB叫做向量(→，a)与(→，b)的夹角，记叙：<(→，a)，(→，b)> 范围：0≤<(→，a)，(→，b)>≤π在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且<(→，a)，(→，b)>=<(→，b)，(→，a)> 如果<(→，a)，(→，b)>=π/2，则称(→，a)与(→，b)互相垂直，并记作：(→，a)⊥(→，b) （2）两个向量的数量积 设(→，OA)=(→，a)，则有向线段(→，OA)的长度叫做向量(→，a)的长度或模记作：∣(→，a)∣ 已知空间两个非零向量(→，a)，(→，b)则∣(→，a)∣∣(→，b)∣cos<(→，a)，(→，b)>叫做向量(→，a)，(→，b)的数量积，记作：(→，a).(→，b)即 (→，a).(→，b)=∣(→，a)∣∣(→，b)∣cos<(→，a)，(→，b)> 规定，零向量与任何向量的数量积为0，即0.a=0。特别地a.a=∣a∣∣a∣cos=∣a∣2。 理解 a，b是两个非零向量，现给出以下命题： ①a.b﹥0<=>∈｛0，π/2）； ②a.b﹥0<=>=π/2 ③a.b﹥0<=>∈（π/2，π｝； ④∣a.b∣=∣a∣∣b∣<=>=π 其两个正确的命题有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （3）射影 已知向量(→，AB)=(→，a)和轴L(→，e)是L上与L同方向的单位向量。作点A在L上的射影A1，作点B在L上的射影B1，则(→，A1B1)叫做向量在轴L上的或在(→，e)方向上的正射影，简称射影。 A1B1=∣(→，AB)∣cos<(→，a)(→，e)>=(→，a).(→，e) 注意：(→，AB)是轴L上的正射影A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量(→，AB)与L的方向的相对关系，大小代表在L上射影的长度。 （4）空间向量的数量积性质 对于非零向量(→，a)，(→，b)，有： （1）(→，a).(→，e)=∣(→，a)∣cos<(→，a)，(→，e)> （2）(→，a)⊥(→，b)<=>(→，a).(→，b)=0 （3）∣(→，a）∣=(→，a).(→，a) （5）空间向量的数量积满足的运算律 （1）（λ(→，a)）.(→，ｂ)＝λ｛(→，a).(→，ｂ)｝ （2）｛(→，a).(→，ｂ)｝＝｛(→，ｂ).(→，ａ)｝（交换律） （3）(→，a).｛(→，ｂ)+(→，ｃ)｝＝(→，a).(→，ｂ)+(→，a).(→，ｃ)（分配律） 小结 1、两个向量的夹角 2、两个向量的数量积 3、空间向量数量积的运算律。
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