高中数学第一章1.4《全称量词与存在量词》（选修2-1）
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《全称量词与存在量词》 思考？ 下列语句是命题吗？（1）与（3）之间，（2）（4）之间有什么关系？ （1）x﹥3； （2）2x+1是整数； （3）对所有的x∈R,x﹥3； （4）对任意一个x∈z，2x+1是整数。 短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做倒全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。 常见的全称量词还有： “对所有的”“对任意一个”，“对一切”，“对每一个”，“任给”，“所有的”等。 通常，将含有变量x的语句用p(x)，q（x）r（x）表示，就是的取值范围用M表示。 符号 全称命题“对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为 ∀x∈M，(x) 读作“对任意x属于M，有p（x）成立”。 例1判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数是奇数； （2）∀x∈R，x2+1≥1； （3）对每一个无理数x，x2也是无理数。 存在量词 思考？ 下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？ （1）2x+1=3； （2）x能被2和3整除； （3）存在一个x∈R，使2x+1=3； （4）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除。 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“有的”“对某个”等。 例如，命题： 有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数； 有的向量方向不定； 存在一个函数，既是偶数又是奇数； 有一些实数不能取对数。 特称命题“存在M中的一个x，使P（x）成立”可用符号记为 ∃x∈M，P（x） 读作“存在一个x，使P（x）成立”。 例2 判断下列特称命题的真假 有一个实数x0，使x02+2x0+3=0。 存在两个相交平面垂直于同一条直线； 有些整数只有两个正因数。 含有一个量词的命题的否定 如何区分命题的否定与否命题？ 区别： ①、概念：命题的否定琖是直接对命题进行否定；而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后所组成的命题。 ②、构成：对于“若P，则q”形式的命题，其否定命题为“若P,则┒q”也就是不改变条件，而否定结论；而其否命题则为“若非P，则非q”,也就是条件和结论都否定。 ③，真值：否定命题的真值与原命题的相反；而否命题的真值与原命题无关。 探究 写出下列命题的否定 1）所有的矩形都是平行四边形；∀x∈M，P(x) 2）每一个素数过都是奇数； ∀x∈M，P(x) 3）∀x∈R,x2-2x+1≥0 ∀x∈M，P(x) 否定： 1）所有的矩形都是平行四边形；∃x∈M，┒P（x） 2）每一个素数过都是奇数； ∃x∈M，┒P（x） 3）∀x∈R,x2-2x+1≥0 ∃x∈M，┒P（x） 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 从命题形式上牛耕，这三个命题全称的否定都成了特称命题。 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题P：∀x∈M，P(x) 它的否定┒P：∃x∈M，┒P（x） 例3 写出下列全称命题的否定： （1）P：所有能被3整除的整数教师奇数； （2）P：第一个四边形的四个顶点共圆； （3）P：对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3。 探究 写出下列命题的否定 1）有些实数的绝对值是正数；∃x∈M，P（x） 2）某些平行四边形是菱形； ∃x∈M，P（x） 3）∃xR，x2+1<0 ∃x∈M，P（x） 否定 1）有些实数的绝对值是正数；∀x∈M，┒P(x) 2）某些平行四边形是菱形； ∀x∈M，┒P(x) 3）∃xR，x2+1<0 ∀x∈M，┒P(x) 这些命题和它们的否定形式上有什么变化？ 从命题琖上看，这三个特称命题的否定都变成了全称命题。 一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题P：∃x∈M，P（x） 它的否定┒P：∀x∈M，┒P(x) 特称命题的否定是全称命题。 例4 写出下列特称命题的否定 （1）P：∃x∈R，x2+2x+2≤0； （2）有的三角开是等边三角形； （3）有一个素数含三个正因数。
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