高中数学第一章1.5《曲边梯形的面积 汽车行驶的路程》（选修2-2）
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《曲边梯形的面积 汽车行驶的路程》
一、求曲边梯的面积
1、曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f（x），直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。
2、如何求曲边梯形的面积？
将曲边梯形分成N个小梯形，并用小矩形陈形的面积替小曲边梯形面积，于是曲边梯形的面积A近似为。
3、举例：例1。求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间[0，1/n]，[1/n，2/n]，……，[（i-1）/n，i/n]，……[(n-1)/n，n/n]，每个区间的长度为
Dx=i/n-(i-1)/n=1/n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作DS1，DS2…，DSi，…DSn。
（2）近似代替（不足近似值）
DSi ≈f（（i-1）/n） Dx=（（i-1）/n21/n）
（3）求和
DS=DS1+DS2+……+DSn=(nΣi=1) DSi
≈(nΣi=1)f（（i-1）/n）1/n=(nΣi=1)2 1/n
=1/n3[02+12+22+……+（n-1）2]
12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）/6
S≈1/n3 1/6（n-1）n（2n-1）=1/6（1-1/n）（2-1/n）
（4）取极限
当分割的人数无限增多，即nàµ，DXà0时，S≈1/6（1-1/n）（2-1/n）à1/3
所以S=1/3。
我们还可以从数值上可以看出这一变化趋势（请见表）
区间[0，1]的等分数n
S近似值Sn
2
0.125 000 00
4
0.218 750 00
8
0.273 437 50
16
0.302 734 50
32
0.317 871 09
64
0.325 561 52
128
0.329 427 26
256
0.331 382 75
512
0.332 327 41
1024
0.332 845 21
2048
0.33 089 23
……
……
小结：求由连续曲线y=f（x）对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割 （2）近似代替 （3）求和 （4）取极限
把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积S的近似值。
有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。
[点评]（1）分割的目的在于更精确地“以直代曲”。上例中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确，当n愈大时，所有小矩形的面积就愈逼近曲边梯形的面积。
（2）在“近似代替”中，教材在每一个小区间[（i-1/n，i/n）]上取左端，事实上可以用取右端点或区间上的任意点，前面我们已经验证了取右端点时的情形。
（3）求曲边梯形的面积，通常采用分割、近似代替，求和，取极限的方法。
二、求汽车行驶的路程
上图中：所有粘矩形之和，其极限就是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=t2+2所围成的曲边梯形的面积，即路程S
与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题。化归为求匀速直线运动的路问题，即将区间[0，1]等分成n个小区间，在每个小区间上，由于v（t）变化很小，可以认为汽车近似于作匀速直线运动，从而求和得的近似值，最后让n趋向于无穷大就得到S的精确值。
解：1.分割
在时间区间[0，1]上等间隔地插入n-1个点，将区间[0，1]等分成n个区间：
[0,1/n],[1/n，2/n]，…，[（n-1）/n，1]记第i个区间为[（i-1）/n，i/n]（i=1，2,…，n）,其长度为△t=i/n-(i-1)/n
把汽车在时间段[0,1/n],[1/n，2/n],…，[(n-1)/n，1]上行驶路程分别记作：△S1，△S2，…，△Sn
显然，S=（nΣi=1）△Si
（2）近似代替 当n很大，△t很小时，在区间[（i-1）/n，i/n]上，可以认为函数v（t）=-t2+2的值变化很小，近似等于一个常数，不妨认为它近似等于左端点（i-1）/n处的函数值v（i-1/n）=-（(i-1)/n）+2，从物理意义上看，即使汽车在时间段[（i-1）/n，i/n](i=1，2，……，n)上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻（i-1）/n处的速度v（i-1）/n=-((i-1)/n)2+2作匀速直线运动。
即汽车在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形的面积△S'近似代替△St，则有
△Si≈△St''=v（（i-1）/n）2.1/n+2/n(i=1,2…，n)①
（3）求和，由①得
Sn=（nΣi=1）△St'=（nΣi=1）v{(i-1)/n}△t
=（nΣi=1)[-((i-1)/n2).1/n+2/n]
=0.1/n-(1/n)2.1/n-…-（（n-1）/n）2.1/n+2
=-1/n3 [12+22+…+（n-1）2]+2
=-1/n3{(n-1)n(2n-1)/6}+2=-1/3(1-1/n)(1-2n)+2
从而得到S的近似值S≈Sn=-1/3(1-1/n)(1-1/n)+2
（4）取极限
当n趋向于无穷大时，即△t趋向于0时，Sn=-1/3（1-1/n）(1-1/2n)+2趋向于S，
从而有S=LimSn n→∞
=LimSn n→∞[-1/3(1-1/n)(1-1/2n)+2]=5/3
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S与由直线t=0，t=1，V=0和曲线v=-t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
结合上述解过程可知，汽车行驶的路程S=LimSn n→∞ 在数据上等于由直线t=0，t=1,v=0和曲线v=-t2+2所围成的曲边梯形的面积。
结论：一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v（r）那么我们也可以采用分割、近似代替，求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤t≤b内所作的位移S。
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