高中数学第一章1.3《二项式定理复习课》（选修2-3）
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《二项式定理复习课》 （a+b）n=C0na2+C1nan-1b+C2nnn-2b2+…+Crnan-rbr+Cnnbn （n∈N） 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做（a+b）n的展开式，其中Crn（r=1，2，……，n）叫做二项式系数，Crnan-rbr叫做二项展开的通项，用Tr+1表示，该项是指展开的第r+1项，展开式共有n+1个项。 Tr+1=Crnan-rbr 系数性质 （1）二项式系数的三个性质： 对称性 增减性与最大值 各二项式系数的和 增减性：当k＜（n+1）/2时，二项式系数是逐渐增大的， 由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的。 最值：当n是偶数时，中间的一项Cn/2n取得最大值时； 当n是奇数时，中间的两项Cn-1/2n和Cn+1/2n相等，且同时取得最大值。 二项式系数之和：2n（由赋值法求得） 各二项式系数的和 在二项式定理中，令a=b=1，则：C0n+1n+C2n+……+Cnn=2n 这就是说，（a+b）n的展开式的各二项式系数的和等于：2n 另：在（a+b）n展开式中，奇数项中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二式系数的和。 C0n+C2n+……=+C1n+C3n=2n/2=2n-1 例1 计算并求值 （1）1+2C1n+4Cnn+…+2nCnn （2）（x-5）5+5（x-1）4+10（x-1）3+10（x-1）2+5（x-1） 例题讲解 例2、如果：1+2C1n+22C2n+…+2nCnn=2187 求：C1n+…+Crn+…+Cnn 的值。 分析：1+2C1n+22C2n+…+2nCnn=C0n.20.1n+C1n.2.1n-1+C2n.22.1 n-2+…+Cnn.2n.10=（1+2）n=3n 由题意，得3n=2178=37 于是n=7 C0n+C1n+…+Crn+…+Cnn=2n 原式=C1n+…Crn+…+Cnn=2n-1=27-1=127 例3 若n∈N+，（√2+1）n=√2an+bn，（an，bn∈Z），则bn的值（A） A 一定为奇数 B与n的奇偶性相反 C 一定为偶数D与n的奇偶性性相同 例4：由（√3x+3√2）100展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？ 分析：考虑（√3x+3√2）100的展开式的通项 Tr+1=Cr100（√3x）100-r（3√2）r =Cr1003100-r/22r/3x100-r=Cr100350-r/22r/3x100-r 要使x系数为有理数，则r为6的倍数，令r=6k（k∈Z），而且0≤6k≤100，即r=0，6，12，…，96。因此共有17项。
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