七年级数学下册第8章《角》8.4 对顶角
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七年级数学下册第8章《角》8.4 对顶角
如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫做这两条直线的交点。
直线AB、CD相交于点O
探究发现
如图：直线AB、CD相交于点O.
（1）如果不计图中的平角和周角，它们共形成了几个角？
（2）这些角的顶点具有什么特征？
（3）观察∠1和∠3，你发现它们的两边具有什么特征？∠2与∠4呢？
形如∠1与∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
图中还有哪些角也是对顶角呢？
对顶角：如果两个角有一个公共点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角。
注意以下两点：
（1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是有公共边，符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行。
（2）对顶角是成对存在的，它们是互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角。
探究发现
∠1与∠3在数量上又有什么关系呢？
对顶角相等
对顶角的性质：对顶角相等。
已知：直线AB与CD相交于O点（如图）
求证：∠1=∠3，∠2=∠4
证明：∵直线AB与CD相交于O点，
∴∠1+∠2=180°
∠3+∠2=180°
∴∠1=∠3
同理可得：∠2=∠4
练习1、下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
2、下列图形中，∠1和∠2是对顶角的图形是（）
3、如图，已知直线AE、BD相交于点C.图中哪些角是对顶角？
答：对顶角有两对：∠ACB与∠ECD、∠ACD与∠ECB.
4.下列说法是否正确？为什么？
（1）有公共顶点的两个角是对顶角。
答：不正确。如图，∠AOB与∠COD有公共顶点O，但它们不是对顶角。
（2）有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角。
答：不正确。如上图，∠AOB与∠COD有公共顶点O，而且没有公共边，但它们不是对顶角。
例题讲解
例1：如图，直线a、b相交，若∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数。
解：∠1=40°，根据题意可得
∠2=180°-∠1
=180°-40°
=140°
由对顶角相等，可得
∠3=∠1=40°
∠4=∠2=140°
若∠1=m°，求各角的度数。
若∠1+∠3=50°，求各角的度数。
例2、已知：直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，求∠BOD和∠BOC的度数。
解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=70°，
∴∠1=1/2∠EOC=1/2×70°=35°，
∴∠BOD=∠1=35°（对顶角相等）
∠BOC=180°-∠BOD
=180°-35°
=145°
答：∠BOD=35°，∠BOC=145°.
例3、如图，直线AB、CD相交于O，∠AOC=80°，∠1=30°；求∠2的度数。
解决问题
如图，小明想要测量他家房子两堵墙的角度，可他不知道怎么测量，你能帮他解决这个问题吗？
归纳小结
角的名称
特征
性质
对顶角
（1）有公共顶点；
（2）两条边互为反向延长线；
对顶角相等
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