九年级数学下册第28章《锐角三角函数》28.1 锐角三角函数（1）
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第28章《锐角三角函数》28.1 锐角三角函数（1） 问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 思考 在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ ∠A的对边/斜边=B'C'/AB'= AB'=2B'C'=2×50=100 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。 思考 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比BC/AB，你能得出什么结论？ 在Rt△ABC中，∠C=90°，由于∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 因此 结论 综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值。 问题 一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究 任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，那么BC/AB与B'C'/A'B'有什么关系，你能解释一下吗？ 在图中，由于∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值，并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大。 正弦函数 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即 sinA=∠A的对边/斜边=a/c 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= 小试牛刀 在Rt△ABC，Rt△DEF中，∠B=30°，∠D=45°，∠C=90°，∠F=90°，若AB=DE=2， （1）求∠B的对边与斜边的比值； （2）求∠A的对边与斜边的比值； （3）求∠D的对边与斜边的比值。 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值。 解：（1）在Rt△ABC中， 因此sinA=BC/AB=3/5 sinB=AC/AB=4/5 （2）在Rt△ABC中， 因此sinA=BC/AB=5/13 sinB=AC/AB=12/13 练习 根据下图，求sinA和sinB的值。 根据下图，求sinB的值。 如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，图中sinB可由哪两条线段比求得。 练一练 1、判断对错 如图 （1）sinA=BC/AB（ ） （2）sinB=BC/AB（ ） （3）sinA=0.6m（ ） （4）sinB=0.8（ ） 如图 sinA=BC/AB（ ） 2、在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（ ） A、扩大100倍 B、缩小1/100 C、不变 D、不能确定 3、如图，则sinA=________。 小结 如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB， sinA=BC/AB＜1 sinB=AC/AB＜1 所以0＜sinA＜1，0＜sinB＜1。 如果∠A＜∠B，则BC＜AC，那么0＜sinA＜sinB＜1。 小结拓展 1、锐角三角函数定义： sinA=∠A的对边/斜边 sin30°= sin45°= 2、sinA是∠A的函数。
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