高中数学第三章3.4《基本不等式√ab≤(a+b)/2（2）》（必修5）
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《基本不等式√ab≤(a+b)/2（2）》 一、复习、回顾两个重要不等式 ①a2+b2≥2ab（a，b∈R） √ab≤（a+b）/2（a，b∈R+） ②基本不等式成立的三个要素：一正、二定、三相等 ③基本不等式的简单应用 二、基本不等式的应用 应用1：判断代数式或数的大小关系 例1：设a＞0，b＞0，给出下列不等式 （1）a+1/a≥2 （2）（a+1/a）（b+1/b）≥4 （3）（a+b）（1/a+1/b）≥4 （4）a2+2+1/（a2+2）≥2 其中成立的是__________________ 等号能成立的是________________ 例2：若a＞b＞1，P=√（lga·lgb），Q=1/2（lga+lgb），R=lg[(a+b)/2]，则（ ） A、R＜P＜Q B、P＜Q＜R C、R≤P≤Q D、P≤Q≤R 应用2：求最大（小）值问题 提醒：利用a+b≥2√ab（a＞0，b＞0），求最值时要注意： （1）一正：各项均为正数 （2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。 （3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“=”，否则会出现错误。 （1）构造积为定值，求和的最值 例3：已知x＞0，y＞0，xy=24，求4x+6y的最小值，并说明此时x，y的值。 例4：已知x＞1，求y=x+1/（x-1）的最小值以及取得最小值时x的值。 变式：求y=2+3x+1/（x-1）的最小值。（其中x＞1） 又例：当x≥1时，求4x2+1/x的最小值。 （2）构造和为定值，求积的最值 例5：已知：0＜x＜1/3，求函数y=x（1-3x）的最大值。 应用3：证明不等式 例6：已知a，b，c，d都是正数，求证： （1）（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd （2）a+b+c≥√ab+√bc+√ca 例7：已知a，b，c∈R，求证√（a2+b2）+√（b2+c2）+√（c2+a2）≥√2（a+b+c） 应用4：求实际问题中的简单应用 例8：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 三、课程思考 已知正数x，y满足2x+y=1，求1/x+1/y的最小值。
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