高中数学第三章3.4《基本不等式√ab≤(a+b)/2（1）》（必修5）
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《基本不等式√ab≤(a+b)/2（1）》 经“风车”抽象成左图。在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。令直角三角形两条直角边的长为a、b。 S△DGC=1/2ab，即4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2+b2。 由此得：一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。 一、不等式（1）a2+b2≥2ab 还有其他的方法证明吗？ 如果a＞0，b＞0，我们用√a，√b分别代替a、b，可得a+b≥2√ab 通常我们把上式写作：√ab≤（a+b）/2（a＞0，b＞0） 二、基本不等式或不等式（2） √ab≤（a+b）/2（a＞0，b＞0）或者（a+b）/2≥√ab（a＞0，b＞0） 当且仅当a=b时，（a+b）/2=√ab 1、两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。 2、两个正数的等差中项大于或等于它们正的等比中项。 探究：如何证明基本不等式√ab≤（a+b）/2（a＞0，b＞0）？ 探究：法2与法3的证明有何不同？如何来使用？ 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD，你能利用这个图形得出基本不等式√ab≤（a+b）/2是几何解释吗？ 三、变形不等式与等价关系式 a、变形不等式 已知a，b为正数，证明下列结论 b、3个等价关系式 （1）a2+b2≥2ab ←→ ab≤（a2+b2）/2 （a，b∈R） （2）√ab≤（a+b）/2 ←→ ab≤[（a+b）/2]2 （a，b∈R+） （3）√[(a2+b2)/2]≥（a+b）/2 ←→ （a+b）2/2 （a，b∈R+） 其中当且仅当a=b时取等号。 四、基本不等式的简单应用 例1：证明下列两个不等式 （1）当a，b∈R+时，a/b+b/a≥2（当且仅当a=b时取“=”号） （2）当a∈R+时，a+1/a≥2（当且仅当a=1时取“=”号） 例2：已知x，y是正数，求证： （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2√p。 （2）如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值（1/4）s2。 课堂思考 某金店有一不准确的天平（臂长不等），顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，然后把两次称得质量的算术平均数作为项链的质量，问这种称法是否合理？
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