七年级数学下册第12章《乘法公式与因式分解》12.3 用提公因式法进行因式分解
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七年级数学下册第12章《乘法公式与因式分解》12.3 用提公因式法进行因式分解
观察与思考
由单项式与多项式乘法法则，可以得到
m(a+b+c)=ma+mb+mc.
ma+mb+mc=m(a+b+c).
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。
练习
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？
（1）（x+y).(x-y)=x²-y²；×
（2）a²-4a+4=a(a-4)+4；×
（3）m²n-8n=n(m-8)；×
（4）x²+4x+2=x²+2（2x+1).
观察与思考
由单项式与多项式乘法法则，可以得到ma+mb+mc=m(a+b+c).
多项式ma+mb+mc的各项都含有相同的因式m，我们就把因式m叫做这个多项式各项的公因式。
上面所用的因式分解的方法，叫做提公因式法。
练习
写出下面多项式中各项的公因式：
（1）x²+xy； x
（2）3a²+12a； 3a
（3）4a²b²+6ab³；2ab²
例1.把下列各式进行因式分解：
（1）x²+xy；
（2）3a²+12a；
（3）4a²b²+6ab³；
（4）4a²b+6ab³+2ab；
(1)解：原式=x.x+x.y
=x(x+y)
(2)解：原式=3a.a+3a×4
=3a(a+4)
(3)解：原式=2ab².2a+2ab².3b
=2ab²(2a+3b)
(4)解：原式=2ab.2a+2ab.3b²+2ab×1
=2ab(2a+3b²+1）
练习
把下列各式进行因式分解：
（1）a²b-3ab；
（2）8abc+4bc²；
（3）3ax-12bx+3x；
解：（1）原式=ab.a-ab×3
=ab(a-3)
（2）原式=4bc.2a+4bc.c
=4bc(2a+c)
（3）原式=3x.a-3x.4b+3x.1
=3x(a-4b+1)
例2.把下列各式进行因式分解：
（1）-4b²+2ab；
（2）-4x²y-16xy+8x²；
练习
把下列各式进行因式分解：
（1）-a²b-3ab；
（2）-49a²+7ab³-21a；
解：（1）原式=-（a²b+3ab)
=-(ab.a+ab.3)
=-ab(a+3)
（2）原式=-（49a²-7ab³+21a)
=-(7a.7a-7a.b³+7a.3)
=-7a(7a-b³+3）
例3.把下列各式进行因式分解：
（1）a(m-6)+b(m-6)；
（2）7(a-2)²+14(a-2)；
解：（1）原式=(m-6)(a+b)
（2）原式=7(a-2).(a-2)+7(a-2).2
=7(a-2)(a-2+2)
=7a(a-2)
练习
把下列各式进行因式分解：
（1）2(x-y)-(x-y)²；
（2）6(m-n)²+3(m-n)；
解：(1)原式=(x-y)×2-（x+y).(x-y)
=(x-y)[2-(x-y)]
=(x-y)(2-x+y)
(2)原式=3(m-n).2(m-n)+3(m-n)×1
=3(m-n)[2(m-n)+1]
=3(m-n)(2m-2n+1)
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