高中数学第二章2.4《抛物线的简单几何性质》（选修2-1）
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《抛物线的简单几何性质》
一、复习回顾
1、抛物线的定义
动点M与一个定点F的距离和它到一条直线L的距离的比是常数e=1，则这个点的轨迹是抛物线。
定点F是抛物线的焦点；
定直线L叫做抛物线的准线；
常数e=1抛物线的离心率。
y2=2Px P﹥0是焦准距
抛物线标准方程
2、抛物线的标准方程
标准方程
y2=Px(p﹥0)
y2=-Px(P﹥0)
x2=2Py(P﹥0)
x2=-2Py(P﹥0)
图形
焦点
F（P/2，0）
F（-P/2，0）
F（0，P/2）
F（-0，P/2）
准线
x=-P/2
x=P/2
y=-P/2
y=P/2
3、椭圆和双曲线的性质：
性质 方程
x2/a2+y2/b2=I(a﹥b﹥0)
x2/a2-y2/b2=I(a﹥0，b﹥0)
图形
范围
-a≤x≤a,-b≤v≤b
x≤-a或x≥a,y ∈R
对称性
关于Xx，y轴用原点对称
关于x，y轴及原点对称
顶点坐标
A1（-a，0），A2（a，0）
B1（0，-b），B2（0，b）
A1A2叫长轴B1B2叫短轴
A1（-a，0），A2（a，0）
A1A2叫实轴B1B2叫虚轴
离心率
e=e/a，（0＜e＜1）
e=e/a，（e﹥1）
二、讲授新课
以抛物线的标准方程y2=2P经（P﹥0）来研究它的几何性质。
（1）范围
因为P﹥0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时∣y∣也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性
以-y代y，方程不变，所以抛物线关于x对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
（3）顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点。
（4）离心率
抛物线上的点与焦点的距离和它互准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知e=1。
根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形，焦点坐标，准线方程对应关系如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？
第一：一次项的变量如为X（或Y），则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上！
第二：一次项的系数决定了开口方向。
特点：
1、抛物线只位于送修坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线；
2、抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
3、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
4、抛物线的离心率是确定的e=1；
5、抛物线的标准方程中的P对抛物线开口的影响。
P越大，开口越开阔——本质是成比例地放大！
三、例题选讲
例1，顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且过点M（2，-2√2）的抛物线有几条，求它的标准方程。
当焦点在x（或y）轴上，开口方向不定时，设为y2=mxz（m≠0）{或x2=my(m≠0)}，可避免讨论。
例2，（1）过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45度的直线，则被抛物线截得的弦长为（ ）。
（2）过抛物线的焦点做倾斜角为Q的直角线L，设L交抛物线于A,B两点，（1）求∣AB∣；（2）求∣AB∣的最小值。
思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
例3、过抛物线焦点作直线交抛物线y2=2Px(P﹥0)于A，B两点，判断与AB为直径的圆准线的位置关系。
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