已知抛物线y平方=2px(p>0)过焦点斜率为2√2的直线交抛物线于A(x,y)B(x底数为二y底数为二)(X底数为一<X底数为二)两点且|AB|=9 1)求抛物线的方程 2)0为坐标原点 C为抛物线上一点 若向量OC=向量OA+良母他向量OB求良母他的值
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已知抛物线y平方=2px(p>0)过焦点斜率为2√2的直线交抛物线于A(x,y)B(x底数为二y底数为二)(X底数为一<X底数为二)两点且|AB|=9  
1)求抛物线的方程
2)0为坐标原点 C为抛物线上一点 若向量OC=向量OA+良母他向量OB求良母他的值

教师回答(1)条

解:焦点F(p/2,0),过焦点的直线方程为y=2√2(x-p/2),代入抛物线方程y^2=2px并化简得
4x^2-5px+p^2=0    ①
由韦达定理可得
x1+x2=5/4*p         ②
x1x2=1/4*p^2        ③
由|AB|=9可得
9=√[1+(2√2)^2]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=3*√[(5/4*p)^2-4*1/4*p^2]=3*3/4*p=9/4*p
得p=4.于是抛物线方程为y^2=8x
向量OC=向量OA+λOB,若C点与A点重合,则λ=0;
若C点相异于A点,则C点必为过A点且平行于OB的直线与抛物线的交点。
将p=4代入方程①,有4x^2-20x+16=0,解得x1=1,x2=4。依题意有y1=-2√2,y2=4√2。于是有
A(1,-2√2),B(4,4√2).则直线OB的斜率为4√2/4=√2,于是直线AC的方程为y+2√2=√2(x-1),即
y=√2(x-3),代入y^2=8x,可得(x-1)(x-9)=0,解得x=1或x=9。显然x=1对应点A(1,-2√2),x=9对应点C(9,6√2)。于是λ=AC/OB=(6√2-1)/(4-0)=(6√2-1)/4  (因为斜率都是√2,故线段长度之比等于横坐标差之比)
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