九年级数学上册第4章《一元二次方程》4.6 一元二次方程根与系数的关系
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九年级数学上册第4章《一元二次方程》4.6 一元二次方程根与系数的关系 第四章《一元二次方程》 4.6 一元二次方程根与系数的关系 实验与探究 （1）解下面的一元二次方程： ①x²+3x+2=0，②x²-5x+6=0， ③3x²+x-2=0，④2x²-4x+1=0. （2）根据（1）中所求的每个方程的根，分别计算两根之和与两根之积，并把结果填入下表： 当b²-4ac≥0时，一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根是 于是两个根的和为 两个根的积为 所以，一元二次方程的根与系数有以下的关系： 如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-b/a，x1x2=c/a 例1 关于x的方程3x²+mx-4=0有一个根是2，求另一个根及m的值. 解 设方程的另一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+2=-m/3 ① 2x1=-4/3 ② 由②，得x1=-2/3 代入①，得-2/3+2=-m/3 解得m=-4 所以，方程的另一个根是-2/3，m的值是-4. 对于例1，你还有其他的解法吗？ 例2 设x1，x2是方程2x²+5x+1=0的两个根，求下列各式的值： （1）（x1+1）（x2+1）； （2）1/x1+1/x2. 解 由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=-5/2，x1x2=1/2. （1）（x1+1）（x2+1）=x1x2+(x1+x2)+1=1/2-5/2+1=-1; （2）1/x1+1/x2=x1+x2/x1x2=(-5/2)÷（1/2）=-5. 练习 1.不解方程，说出下列一元二次方程两个根的和与积； （1）x²-3x+1=0； （2）2x²+3x=0. 2.已知方程5y²+ky-6=0的一个根是2，求它的另一个根和k的值. （1）+y1y2+y2²； （2）y2/y1+y1/y2. 5y²-7y-6=0 y1+y2=7/5 y1/y2=-6/5 （1）y1²+y1y2+y2²+y1y2 =（y1+y2）²-y1y2 （2）y2/y1+y1/y2 =y2²/y1y2+y1²/y1y2 =y1²y2²+2y1y2-2y1y2/y1y2 =（y1+y2）²-2y1y2/y1y2 =109/25×5/6 =-109/30
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