九年级数学上册第4章《一元二次方程》4.5 一元二次方程根的判别式
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九年级数学上册第4章《一元二次方程》4.5 一元二次方程根的判别式 第四章《一元二次方程》 4.5 一元二次方程根的判别式 实验与探究 （1）你会解方程x²+2x+5=0吗？试一试. x²+2x+5=0 解： x²+2x+1=-5+1 （x+1）²=-4 a=1 b2 c=5 b²-4ac=2²-4×1×5=-16＜0 （2）由4.3节我们知道，当b²-4ac≥0时，一元二次方程 ax²+bx+c=0 ① 可以利用求根公式 求出它的根. 你发现当b²-4ac＞0与b²-4ac=0时，方程的两个根分别具有什么特征？ 当b²-4ac＞0时，由于是正数，-是负数，所以是两个不相等的实数.因此，方程①有两个不相等的实根： 如果b²-4ac=0，那么，这时方程①有两个相等的实根： x1=x2=-b/2a 如果b²-4ac＜0，将方程①配方后，得 （x+b/2a）²=b²-4ac/4a² 方程右边由于分母4a²＞0，所以b²-4ac/4a²＜0，而（x+b/2a）²不可能是负数，这时方程①没有实根. 由此可见，一元二次方程ax²+bx+c=0是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系 数的代数式b²-4ac的值的符号，因而把b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式（discriminant），通 常用△表示，即△=b²-4ac. 把上面讨论所得到的结论加以归纳，就得到 一元二次方程 ax²+bx+c=0 当△＞0时有两个不相等的实根；当△=0时有两个相等的实根；当△＜0时没有实根. 上面结论的逆命题也是正确的，你能说出它的逆命题吗？ 例1 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）2x²+x-4=0； （2）4y²+9=12y； （3）5（t²+1）-6t=0. 解 （1）这里a=2，b=1，c=-4. ∵△=b²-4ac=1²-4×2×（-4）=33＞0 ∴方程有两个不相等的实根. （2）把原方程化为一般形式，得 4y²-12y+9=0 这里 a=4，b=-12，c=9 ∵△=b²-4ac=（-12）²-4×4×9=0. ∴原方程有两个相等的实根. （3）把原方程化为一般形式，得 5t²-6t+5=0 这里 a=5，b=-6，c=5 ∵△=b²-4ac=（-6）²-4×5×5=-64＜0 ∴原方程没有实根. 例2 已知关于x的一元二次方程 kx²-3x+1=0 有两个不相等的实根。 （1）求k的取值范围； （2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根. 解 （1）∵关于x的一元二次方程 kx²-3x+1=0 有两个不相等的实根. ∴△=（-3）²-4k＞0 即 9-4k＞0 解不等式，得k＜9/4. ∵kx²-3x+1=0是一元二次方程， ∴k≠0 故k的取值范围是k＜9/4且k≠0. （2）取不等式k＜9/4的一个正整数解k=2，则方程为 2x²-3x+1=0 解这个方程，得 x1=1，x2=1/2 挑战自我 有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程 x²-12x+k=0 的两根，求k的值. （1）当3为腰时，k=27. （2）当3为底时，△=0，k=36. 练习 1.不解方程，判断下列方程根的情况： （1）3y²-5y-2=0； （2）2x²-9x+6=0； （3）5x²+10x+6=0；（4）5t²-+3=0. 2.k为何值时，关于x的一元二次方程 3x²-4x+（k+1）=0 有两个相等的实根？
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