九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识》3.4 直线与圆的位置关系（第三课时）
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九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识》3.4 直线与圆的位置关系（第三课时） 第三章《对圆的进一步认识》 3.4 直线与圆的位置关系 第三课时 你能说出切线的判定定理的逆命题吗？这个逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，你能给出证明吗？ 已知：如图3-40，直线l与⊙O相切与点A. 求证：OA⊥l. 证明 如图3-40，假设l与半径OA不能垂直，过点O作OB⊥直线l，垂足为点B.在l上取BA=BA，且使B点在A与A´之间，连 接OA´.于是OB垂直平分AA´，OA=OA´. ∵点A是切点，OA是⊙O的半径. ∴OA´也是⊙O的半径. 这就是说，直线l与⊙O有两个公共点，即l与⊙O相交，这与已知条件“直线l与⊙O相切与点A"矛盾，所以OA⊥l. 由此得到 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 反证法： 几何语言： ∵直线l为⊙O切线且A为⊙O切点. ∴OA⊥l. 例3 A,B,C是⊙O上的三点，经过点A,点B分别作⊙O的切线，两切线相交于点P，如果∠P=42°，求∠ACB的度数. 解 （1）如图3-41，当C在上时，连接OA,OB. ∵PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点， ∴∠OAP=∠OBP=90°. 在四边形OAPB中， ∵∠P=42°， ∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P =360°-90°-90°-42°=138°. ∴∠ACB=1/2∠AOB=1/2×138°=69°. （2）如图3-42，当C在劣弧上时，在优弧上任取一点C´,连接AC´,BC´. 由（1）知，∠AC´B=69°， 在圆内接四边形ACBC´中， ∵∠ACB+∠AC´B=180°. ∴∠ACB=180°-∠AC´B=180°-69°=111°. 练习 1.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，直线BE切⊙O于点B.求证：∠A=∠CBE. 证明： ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90° ∴∠CAB+∠CBA=90° ∵直线BE切⊙O于点B. ∴∠ABE=90° ∴∠ABC+∠CBE=90° ∴∠A=∠CBE. 2.如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于C，如果∠A=20°，求∠C的度数. 拓展与延伸 11.如图，PC是⊙O的切线，C是切点，PO交⊙O于点A,过点A的切线交PC于点D,CD:DP=1：2，AD=2cm.求⊙O的半径.
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