九年级数学上册第1章《图形的相似》1.1 相似多边形
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九年级数学上册第1章《图形的相似》1.1 相似多边形 第一章 图形的相似 1.1 相似多边形 交流与发现 五星红旗是中华人民共和国的国旗，国旗上的左上角有五颗五角星（图1-1），这五颗五角星的形状相同吗？ 大小相等吗？ 在现实生活中，你还见过形状相同但大小未必相等的图形吗？ 形状相同的平面图形叫做相似形（similar figures） 全等行与相似性有什么关系？ 观察与思考 小莹在电脑上任意画出一个四边形ABCD（图1-2①），并将它按原大复制下来，得到四边形A´B´C´D´（图-1-2 ②）然后将四边形ABCD各角的大小保持不变，将它的各边同时放大5/4倍，得到四边形A"B"C"D"（图1-2③） ，再将四边形ABCD各角的大小保持不变，将它的各边同时缩小2/3，得到四边形A"´B"´C"´D"´（图1-2④）把 这四个四边形打印在同一张纸上（图1-2）。 （1）观察得到的四个四边形，你发现它们的形状和大小有什么特征？它们是相似形吗？ （2）观察1-2①和③，在四边形ABCD与四边形A"B"C"D"中，∠A与∠A"，∠B与∠B"，∠C与∠C"，∠D与∠D" 之间分别具有怎样的数量关系？相应的各边的比AB/A"B",BC/B"C",CD/C"D",DA/D"A"之间有怎样的关系？ （3）观察图1-2①和④，四边形ABCD与四边形A"´B"´C"´D"´相应的各角及相应的各边具有怎样的数量关系？ 图③和图④呢？ 由上面的探究过程，我们发现：把四边形ABCD复制，放大或缩小后，所得到的四边形与原来的四边形相似， 它们的各个角对应相等，各边对应成比例。反过来，如果一个四边形与四边形ABCD的各角对应相等，并且各 边对应成比例，那么这个四边形与四边形ABCD形状相同，也就是说，这个四边形与四边形ABCD相似，由此， 可以给出相似多边形的定义： 两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例，那 么这两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）。 如图1-2，四边形ABCD与四边形A"B"C"D"相似，记作四边形ABCD∽四边形A"B"C"D"，符号“∽”读作“相似于 ”，与三角形全等的表示方法一样，在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 相似多边形的对应边的比叫做相似比（similarity ratio）。例如，在图1-2中，四边形A"B"C"D"与四边形 ABCD的形似比为5/4，或说成5:4，四边形A"´B"´C"´D"´与四边形ABCD的相似比为2/3，当两个多边形相等时， 其相似比为1；反之，如果两个相似多边形的形似比为1，那么这两个多边形全等。 例1 如图1-3，已知四边形AEFD∽四边形EBCF。 （1）写出它们相等的角及对应边的比例式； （2）若AD=3，EF=4，求BC的长。 解：（1）在四边形AEFD和四边形EBCF中， ∵四边形AEFD∽四边形EBCF， ∴∠A=∠BEF,∠AEF=∠B,∠DFE=∠C,∠D=∠EFC.并且AE/EB=EF/BC=DF/FC=AD/EF. （2）∵AD=3，EF=4，代入EF/BC=AD/EF得，4/BC=3/4. 解得BC=16/3. 挑战自我 由两个多边形的各个角分别相等，能判断它们相似吗？由两个多边形的边对应成比例，能判断它们相似吗？ 如果不能，请分别举出反例；如果能，说明你的理由。 练习 1.三角形与四边形能相似吗？等边三角形与直角三角形能相似吗？为什么？ 2.如图，△ABC∽△DFE,点A与D，点B与点F是对应顶点，请写出它们的对应角、对应边以及对应边之间的比例式。 习题1.1 复习与巩固 1.如果五边形ABCDE∽五边形A´B´C´D´E´，且五边形ABCDE与A´B´C´D´E´的相似比为k1，五边形A´B´C´D´E´与 ABCDE的相似比为k2，那么k1与k2满足怎样的数量关系？ 2.如图，已知△DEA∽△BCA, （1）BC//DE吗？为什么？ （2）如果BC=3.6，ED=2.4，AE=5，求AC的长。 3.如图，四边形ABCD∽四边形PQRS,BC=8，QR=10,PS=6，∠B=64°，求； （1）∠Q的度数； （2）AD的长； （3）求四边形ABCD与四边形PQRS的相似比。 拓展与延伸 4.如图，△BEA∽△SAD，写出图中所有相等的角和成比例线段的比例式。
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