高中数学第一章1.1《正弦定理》（必修5）

评价

分享至X

微信 QQ 邮箱新浪微博 QQ空间

《正弦定理》
一、任意三角形中边与角的关系
（1）直角三角形中：
sinA=a/c，sinB=b/c，sinC=1
即c=a/sinA，c=b/sinB，c=c/sinC
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有CD=asinB=bsinA，则a/sinA=b/sinB，同理可得c/sinC=b/sinB，从而a/sinA=b/sinB=c/sinC。
再看钝角三角形的情况：
如图，当△ABC是钝角三角形时，延长AB作AB边上的高CD，根据三角函数的定义，在△ACD有CD=bsinA，在△BCD中，CD=asin（180°-B）=asinB
因此asinB=bsinA，所以a/sinA=b/sinB，同理可得c/sinC=b/sinB，从而a/sinA=b/sinB=c/sinC。
正弦定理：
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC
正弦定理的变形公式（变式）：
（1）a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （2R为△ABC的外接圆直径）
（2）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC
（3）sinA=a/2R sinB=b/2R sinC=c/2R
（4）sinA:sinB:sinC=a:b:c
（5）a2=ab ←→ sin2A=sinBsinC
（6）2a=b+c ←→ 2sinA=sinB+sinC
二、正弦定理的应用
应用（1）解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。
正弦定理可解决解三角形中的两类问题：
1、已知三角形的两角和一条边，求其他两边和第三角；
2、已知三角形的两边和其中一边对角，求其他的边和角。
例1：已知△ABC，根据下列条件求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）：
（1）∠A=60°，∠B=45°，a=10
（2）b=3√6，c=6，∠B=120°
（3）a=3，b=4，∠A=60°
应用（2）：判断与证明
例2：在△ABC中，若a/cos（A/2）=b/cos（B/2）=c/cos（C/2），则△ABC一定是（ ）
（A）等腰三角形 （B）等腰直角三角形
（C）直角三角形 （D）等边三角形
例3：在△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状。
例4：如图在△ABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：BD/DC=AB/AC。
三、总结
1、正弦定理的内容及变形公式
2、正弦定理的应用
3、正确利用△ABC中三角A、B、C的关系及诱导公式
四、课堂练习
1、在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A、a=7，b=14，A=30° B、a=30，b=25，A=150°
C、a=50，b=72，A=135° D、a=25，b=30，A=30°
2、在△ABC中，a=100，c=50√2，A=45°，则C=______。
3、在△ABC中，已知a=5，B=120°，C=15°，则此三角形最大边的长为______。