八年级数学下册第一章《三角形的证明》3 线段的垂直平分线（2）
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《线段的垂直平分线》（2） 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 数学语言： ∵EF⊥AB AO=BO （或EF垂直平分AB） 点P在EF上 ∴PA=PB 请写出上面定理的逆命题 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段的两个端点的距离相等。 如果一个点到一条线段的两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段垂直平分线上。 填写下面命题证明过程的理由： 已知：如图，P为线段AB外的一点，且PA=PB。 求证，点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：过点P作直线EF⊥AB，垂足为O，则 ∠POA=∠POB=90°（垂直定义） 在Rt△PAO和Rt△PBO中， PA=PB（已知），PO=PO（公共边） ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL） ∴AO=BO（全等三角形的对应相等） ∴EF是线段AB的垂直平分线（线段垂直平分线的定义） ∴点P在线段AB的垂直平分线上。 例1 已知，如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P。 求证：PA=PB=PC。 例2 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC。 求证：点O在BC的垂直平分线上。 例3 在△ABC中，DE垂直平分AB，AB=8cm，△ACD的周长为10cm。求△ABC的周长。 例4 如图：在Rt△ABC中，∠A=90°，线段BC的垂直平分线DE，如果CE恰好是∠ACB的平分线，求∠B的度数。 例5 如图：AB=AD，BC=DC，E是AC一点。 求证：BE=DE。 试一试 方便居民的生活，市政府计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。 实际问题→数学化 求作一点P，使它和△ABC的三个顶点距离相等。 求作：作线段AB的垂直平分线。 作法： 1、分别以点A和B为圆心，以大于AB/2长为半径作弧，两弧交于点C和D。 2、作直线CD。 则直线CD就是线段AB的垂直平分线。 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，并与同伴进行交流。
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