高中数学第二讲2.1《比较法》（选修4-5）
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《比较法》 （1）作差比较法 一、比较法 例1 已知a，b都是正数，且a≠b，求证a3+b3﹥a2b+ab2 证明：（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）-（ab2-b3） =a2（a-b）-b2（a-b）=（a2-b2）（a-b） =（a+b）（a-b）2 ∵a，b﹥0,∴a+b﹥0 又∵a≠b∴（a-b）2﹥0 故（a+b）（a-b）2﹥0即（a3+b3）-（a2b+ab2）﹥0 ∴a3+b3﹥a2b+ab2 例2 如果用akg白糖制出bkg粮溶液，则其浓度为a/b，若要上述溶液中添加mkg白糖，此时溶液的尝试增加到（a+m）/（b+m）,将这个抽象为数学问题，并给出证明。 解：可以把上述事实抽象成如下不等式问题： 已知a，b，m都是正数，并a＜b且，则（a+m）/（b+m）﹥a/b下面给出证明 （a+m）/（b+m）-a/b=m（b-a）/b（b+m） ∵b＜a∴b-a﹥0，又∵a，b，m都是正数， ∴m（b-a）﹥0，b（b+m）﹥0 ∴m（b-a）/b（b+m）﹥0即（a+m）/（b+m）-a/b﹥0 ∴（a+m）/（b+m）﹥a/b （2）作商比较法 例3 已知a，b是正数，求证aabb≥abba, 当且仅当a=b时，等号成立。 证明：aabb/abba=aa-bbb-a=（a/b)a-b 根据要证的不等式的特点（交换a，b的位置，不等式不变） 不妨设a≥b﹥0，则a/b≥1，a-b≥0，∴（a/b）a-b≥1 当且仅当a=b时，等号成立。 aabb≥abba，当且仅当a=b时，等号成立。 变式引申：求证：若a，b，c∈R+，则aabbcc≥（abc）（a+b+c）/3 补充例题：已知a﹥2，求证：loga（a-1）＜log（a+1）a 1.已知a﹥b，求证a3-b3﹥ab（a-b） 2.已知a，b，c是正数，求证a2ab2bc2c≥ab+cbc+ac +b
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