高中数学第一讲1.2.1《不等式和绝对值不等式》（选修4-5）
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《不等式和绝对值不等式》 这节课我们来研究：绝对值有什么性质？ 我们知道，一个实数的绝对值的意义： 表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离。 关于绝对值还有什么性质呢？ ①∣a∣√a2 思考：用恰当的方法要数轴上把∣a∣，∣b∣，∣a+b∣表示出来，你能发现它们之间的什么关系？ 注：绝对值的几何意义： （1）∣a∣表示数轴上的数A对应的点与原点O的距离∣OA∣； （2）∣a-b∣表示数轴上的数A对应的点与数b对应的点B的距离，如图： 即∣a∣=∣OA∣，∣a-b∣=∣AB∣ 定理1 如果a，b是实数，则∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣（当且仅当ab≥0时，等号成立） （1）若把a，b换为复数z1，z2, 结论：∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣成立吗？ （2）若把a，b换为向量（→，a），（→，b）情形又怎样呢？ ∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣ -b代b，得：∣a∣-∣-b∣≤∣a+（-b）∣≤∣a∣+∣-b∣ 即∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣ 定理（绝对值三角不等式） 如果a，b，是实数，则∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣ 注：当a、b为复数或向量时结论也成立。 注意：1°这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 2°，对于∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣ a，同号时右边取“=”，a，b异号时左边取“=” 3°，对于∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣ a，同号时左边取“=”，a，b异号时右边取“=” 我们还可讨论涉及多个实数的绝对值不等式的问题： 推论1 （运用数学归纳法可得）： ∣a1+a2+…+an∣≤∣a1∣+∣a2∣+…+∣an∣. 定理2：如果a、b、c是实数，那么∣a-b∣≤∣+a-b∣+∣b-c∣, 当且仅当（a-b）（b-c）≥0时，等号成立。 例题 例1 已知ε﹥0，∣x-a∣＜ε,∣y-b∣＜ε， 求∣2x+3y-2a-3b∣＜5ε 例2已知∣x-a∣＜ε/2M，0＜∣y-b∣＜ε/2∣a∣,y∈（0，M）, 求证∣xy-ab∣＜ε。 练习 1.①已知∣x∣﹥r﹥0，a≠0，求证∣1/ax∣＜1/∣a∣r。 ②已知∣an-ι∣＜1,求证∣an∣＜∣ι∣ +1。 2.已知∣A-a∣＜ε/2，∣B-b∣＜ε/2,求证： ①∣（A+B）-（a+b）∣＜ε； ②∣（A-B）-（a-b）∣＜ε。 例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路碑的第10公里和第20公里处，现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次，要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？ 解：如果生活区建于公路碑的第xkm处，两施工队每天往返的路程之和为s（x）km 那么 S（x）=2（∣x-10∣+∣x-20∣）,要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。 小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理： 如果a，b，是实数，则∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣ 注：当a、b为复数或向量时结论也成立。 定理2：如果a、b、c是实数，那么∣a-b∣≤∣+a-b∣+∣b-c∣, 当且仅当（a-b）（b-c）≥0时，等号成立。
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