高中数学第一讲1.1《不等式》（选修4-5）
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《不等式》 类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，可能有a，b，c∈R+，那么（a+b+c）/3≥ 3√abc，当且仅当a=b=c时，等号成立。 证明：若a，b，c∈R+，则，a3+b3+c3≥3abc,当且仅当a=b=c时，等号成立。 和的立方公式： （x+y）3=x3+3x2y+3xy2+y3 立方和公式： x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2） 定理 如果a，b，c∈R+，那么（a+b+c）/3≥3√abc当且仅当a=b=c时，等号成立。 （1）若三个正数积是一个常数，那么当仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。 （2）若三个正数的和是一个常数，那么当仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。 n个正数的算术——几何平均不等式： 若a1，a2，a3，…，an∈R+，则 （a1+a2+a3+…+an）/n≥n√a1，a2，a3，…，an, 当且仅当a1=a2=a3=…=an,时，等号成立。 例1 求函数y=2x2+3/x（x﹥0）的最小值。下面解法是否正确？为什么？ 解法1：由x﹥0知2x2﹥0，3/x﹥0，则 y=2x2+3/x≥2√2x2.3/x=2√6x 当且仅当2x2=3/x=3/x即x=3√3/2时，ymin=2√（6 3√3/2）=2 3√18 解法2：由x﹥0知2x2﹥0，1/x﹥0，2/x﹥0，则 y=2x2+3/x=2x2+1/x+2/x≥3 3√（2x2.1/x.2/x）=3 3√4 ymin=3 3√4 解法3：由x﹥0知2x2﹥0，3/2x﹥0，则 y=2x2+3/x=2x2+3/2x+3/2x≥3 3√（2x2.3/2x.3/2x）=3 3√9/2 当且仅当2x2=3/2x即x=3 3√3/4时 ymin=3 3√9/2=3/2 3√36 变式 1函数y=3x+12/x2（x﹥0）的最小值是（C ） A、6 B、6√6 C、9 D、12 2、函数y=4x2+16/（x2+1）2的最小值是8 例2 如下图，把一块连长是a的正方形铁片的和解切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形连长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 练习 1、函数y=x4（2-x2）（0＜x＜√2）的最大值是（D） A、0 B、1 C、16/27 D、32/27 2、若a，b∈R+,且a﹥b,则a+1/（a-b）b≥ 小结： 这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值的问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。 这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到归化的目的。
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