高中数学第二讲2.4《弦切角的性质》（选修4-1）
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《弦切角的性质》 观察 在图2-14中，以点D为中心旋转直线DE，同时保证直线BC与DE的交点落在圆周上，当DE变为圆的切线时（如图2-15），你能发现什么现象？ 在图2-14中，根据圆内接四边形性质，有∠BCE=∠A。在图2-15中，DE是切线，∠BCE=A仍然成立吗？ 猜想 △ABC是圆O的内接三边形，CE是圆O的切线，则∠BCE=∠A。 分析 延用从特殊到一般的思路，先分析△ABC为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。 证明：（1）如图2-16，圆心O在△ABC的边BC上， 即△ABC是直角三角形。 因为CE是切线，所以∠ACE=90°。 又因为∠A是半圆上的转角，所以∠A=90°。 因此，∠ACE=∠A。 （2）如图2-17，圆心O在△ABC的内部，即△ABC为锐角三角形，作圆O的直径Cp，连接AP，则∠PCE=∠CAP=90°。 因为∠BCE=∠PCE-∠PCB=90°-∠PCB, ∠BAC =∠CAP-∠PAB=90°-∠PAB, 而∠PAB=∠PCB，所以∠BCE=BAC。 综上所述，猜想成立 在图2-15中，由于∠BDE是由一条弦和一条切线组成的角，因此给它取名为弦切角，即；顶点在圆上，一边和圆相交，别一边和圆相切的角叫做弦切角。 于是我们可以将上述经过证明后的猜想表述为： 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 由上述定理的发现和证明过程可以看到对一个图形进行适当的变化，往往能够发现几何中的一些有价值的结论，另外，猜想的证明渗透了分类思想、运动变化思想和化归思想，你能从中体会这些思想方法吗？ 例1 如图2-19，AB是圆O的直径，AC是弦，直线CE和圆O切于点C，AD⊥CE，垂足为D，求证：AC平分∠BAD。 证明：连接BC,因为AB是O的直径，所以∠ACB=90°。则 ∠B+∠CAB=90°，又因为AD⊥CE，所以∠ADC=90°，则∠ACD+∠ADC=90°。 因为AC是弦，且直线CE和切于点C，所以∠ACD=∠B。 因此，∠DAC=CAB,即AC平分∠BAD。
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