高中数学《相似三角形的判定》（选修4）
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《相似三角形的判定》 先回顾初中已学的相似三角形知识 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数） 由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需要考虑6个元素，即三级对应角是否分别相等，三能对应边是否分别成比例，显然比较麻烦所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法。 （1）两角对应相等，两三角形相似。 （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （3）三边对应成比例，两三角形相似。 下面对这些判定方法进行严格证明 如图1-16在△ABC中，D分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC由上一节的例3可知，△ADE和△ABC对应边成比例又由DE∥BC可得，∠ADE=∠B，∠AED=C，而∠A公共角，因此△ADE∽△ABC，探究，如果D、E的延长线上，且DE∥BC（图1-17）那么结论是否还成立？ 对于图1-17的情形，同样可以证明△ADE∽ABC这是判定两个三角形相似的一个定理，我们把它称为预备定理。 预定定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 下面从预备定理出发，看看能否得出一些新的结论。 可以发现只要DE∥BC，无论D、E在AB、AC边上什么位置，都有△ADE∽△ABC，如图1-18，如果D1E1∥BC（ⅰ=1.2……）那么也有△ABC∽AD1E1（ⅰ=1.2……）从运动变化的观点过程中，△ADE的边长改变，南昌角的大小始终不变，这说明，只要两个三角形的三个对应角相等，那么它们就相似，又由于三角形的内角和为180度，所以只要两个三角形中有两个对应角相等，那么第三个对应角一定相等，这样就有“两角对应相等，两三角形相似”。 一般地，我们有 判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角开的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两个角对应相等，两三角形相似。 已知，如图1-19，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=A'，∠B=B' 求证：△ABC∽△A'B'C' 证明：在△ABC的边AB（或AB的延长线）上，截取AD=A'B'，边D作DE∥BC，交AC于点E，由预备定理得△ADE∽△ABC， 因为∠ADE=∠B，∠B=B'，所以∠ADE=B'， 又因为∠A =A',AD=A'B',所以△ADE≌△A'B'C'， 因此△ABC=△A'B'C' 例1 如图1-20，在△ABC中，AB=Ac，D是AC边上一点BD=BC 求证 BC=AC.CD 分析，要证明BC=AC.CD，即证明AC/BC=BC/CD，只要证明AC、BC和BC、CD为一对相似三角形的两组对应边，即可为此，要证明△ABC和△BDC相似， 证明，因为△ABC是等腰三角形，所以∠A=180-2∠C, 因为△BCD也是等腰三角形，所以∠=180-2∠C， 则∠A=∠DBC，又因为∠C是公共角，故△ABC∽△BDC， 因此，AC/BC=BC/CD，即BC=AC.CD。 例2 如图1-21，圆内接△ABC的角平分线CD延长后交圆于点E，求证EB/EC=DB/CB 分析，要证EB/EC=DB/CB，应考虑EB、EC、DB、CB这四条线段所在的两个三角形是否相似EB、EC在△EBD中，DB、CB在△ECB中，因此可以考虑证明△EBD与△ECB相似 证明：由已知，可得∠ACE=∠BCE，因此∠ACE与∠ABE是同弧上的圆周角，故∠ACE=∠ABE，则∠BCE=∠ABE， 又因为∠BED=∠CEB，故△EBD∽△ECB，因此EB/EC=DB/CB。 判定定理2 对于用意两个三角形，如果一个三角形的两边和一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 已知：如图1-22，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=A'，A'B'/AB=A'C'/AC 求证：△ABC∽△A'B'C' 由平行线分线段成比例定理的推理可知，当DE∥BC时，有AD/AB=AE/AC，因而，我们猜想这个推理的逆命题可能是成立的，这样，我们需要先证明下面命题 引理 如果殊不知直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么，这条直线平行于三角形第三边。 已知，如图△ABC中，D、E分别在AB，AC上，且AD/AB=AE/AC 求证：DE∥BC 证明：过D作直线DE∥BC，交AC于点E，则AD/AB=AE/AC（为什么？） 因为AD/AB=AE/AC，所以AE/AC=AE/AC，则AE=AE'。 因此，点E与点E'重合，即直线DE与直线DE重合。所以DE∥BC。 在探究数学问题过程中，应当做到”步步有据“有时，为了寻找某个步骤的推理依据，往往会产生一个原问题的辅助问题，数学家把这种辅助问题称为引理，显然，引理的证明为解决问题奠定了基础。 当直接证明一个问题比较困难时，往往采用间接的方法上述引理的证明采用的“同一法”，就是一种间接证明方法，应用同一法证明问题时，往往先作出一个满足命题结论的图形，然后证明符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同。 例3，如图1-24，在△ABC内任取一个点D，连接AD和BD点E在△ABC外，∠EBC=∠ABD=∠DAB 求证：△DBE∽△ABC 证明：在△DBE与△ABC中，∠DBE+∠CBD，∠ABC=∠ABD+∠DBC，因为∠ABD=∠ABD+∠DBC，因为∠ABD=∠EBC， 所以∠DBE=∠ABC……（1）在△ABD与△CBE中，由已知条件有∠EBC=∠ABD=∠DAB，所以△ABD∽△CBE。 则BE/BD=BC/AB,即BE/BC=BD/AB……（2） 综合（1）（2）式，由判定定理2知△DBE∽△ABC
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