高中数学第二章复习课《点、直线、平面之间的位置关系》(必修2)
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《点、直线、平面之间的位置关系》 知识网络 1.平面的基本性质 -------------------------------------------------------- 名称 图示 文字表示 符号表示 -------------------------------------------------------- 公理 如果一条直线上的 A∈ι，B∈ι， 两点在一个平面内 且A∈α， ，那么这条直线在此 B∈α=>ιCα 平面内 -------------------------------------------------------- 线在面内的依据 2.空间两直线的位置关系 （1）共面直线：相交直线：同一半面内，有且只有一个公共点： 平行直线：同一半面内，没有公共点： 异面直线：不同在任何一半面内，没有公共点。 （2）平行公理 公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。 （3）等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 （4）异面直线所成的角 ①定义：设α，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线α'∥α，b'∥b。把α'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b所成的角（或夹角）。 ②范围：（0，π/2] 3.直线与平面的位置关系 -------------------------------------------------------------- 位置关系 图示符号表示 公共点个数 直线ι在平面α内 ιCα 无数个 ----------------------------------------------------------- 直线ι与平面α相交 ιCα=A 一个 ----------------------------------------------------------- 直线ι与平面α平行 ι∥α 0个 ----------------------------------------------------------- 4.平面与平面的位置关系 ------------------------------------------------------- 位置关系 图示符号表示 公共点个数 两平面平行α∥B 0个 ------------------------------------------------------- 两平面相交α∩β=ι无数个（这些公共点均在交线ι上） ------------------------------------------------------- 5.线面的平行关系 线线平行=> 线面平行=> 面面平行 线线平行<= 线面平行<= 面面平行 6.线面的垂直关系 线线垂直=> 线面垂直=> 面面垂直 线线垂直<= 线面垂直<= 面面垂直 例题讲解 一、平面的性质 1.以下四个命题中，正确命题的个数是（） ①不共面的四个点中，其中任意三点不共线； ②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b、共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④首尾依次相接的四条线段必共面。 A.0 B.1 C.2 D.3 2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（） A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 二、异面直线所成角的计算 例、如图，三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点。 （1）求异面直线AE和PE所成角的余弦值。 （2）求三棱椎A-PBC的体积。 解：（1）取BC的中点F，连续EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF（或其补角）就是异面直线AE和PB所成角。 ∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC。 ∴AF＝3，AE＝2，EF＝2； cos∠AEF＝（2+2-3）/（2×2×2）＝1/4，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为1/4。 （2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为1/2PA＝1，VA-EBC＝VE-ABC＝1/3×（1/2×2×2×（-，3）/2）×1＝（-，3）/3。 三、直线与平面平行的性质与判定 例、如右图所示，已知P、Q是单位正方形ABCD—A1B1C1D1的面A1B1AB和面ABCD的中心。 求证：PQ∥平面BCC1B1。 证：如右图②，连续AB1，B1C， ∵△AB1C中，PQ分别是AB1和AC的中点，∴PQ∥B1C。 又PQ￠平面BCCB1,BC C平面BCC1B1, ∴PQ∥平面BCC1B1。 另证：取AB的中点M，连续PM，QM，证明平面PQM∥平面BCC1B1。 6、直线与平面的垂直 例，如右图，在矩形ABCD中，AB=3 BC=3，沿对角线BD把ΔBCD折起，使C移到C'，且C'在面ABD内的射影O恰好落在AB上。 （1）求证：AD⊥BC'； （2）求证：平面DBC'⊥平面ABC'。 证明：（1）由题意知，C'O⊥平面ABD。 ∵C'O C平面ABC’，∴平面ABC'⊥平面ABD。 又∵AD⊥AB，平面ABC'∩平面ABD=AB， ∴AD⊥平面ABC'，∴AD⊥BC'。
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