高中数学第一章复习课《函数概念复习》(必修1)
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《函数概念复习》 知识回顾 1.函数的基本概念 （1）函数定义 设集合A是一个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都的唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A àB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）,x∈A。 （2）函数的定义域、值域 在函数V=f（x）,x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）∣x∈A｝叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集。 （3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则。 （4）相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据。 2.函数的表示法 表示函数的常用方法：解析法、图象法和列表法。 3.映射的概念 设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A有任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则称对应f：AàB是集合A到集合B的一个映射。 4.由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是非空数集。 二、函数的性质 1.函数的单调性与最值 （1）单调性：对于定义域内某一个区间D内任意的x1,x2,且x1＜x2（或△x=x1-x2＜0）, ①若f（x1）＜（x2）（或△y=f（x1）-f（x2）＜0）恒成立f（x）在D上单调增； ②若f（x1）﹥（x2）（或△y=f（x1）-f（x2）﹥0）恒成立f（x）在D上单调减。 （2）最值：设函数y=f（x）的定义域为I， ①如果存在实数M满足；对任意的ｘ∈I，都有ｆ（x）≤Ｍ且存在ｘ∈R，使得ｆ（x）＝Ｍ，那么称M是函数y=f（x）的最大值； ②如果存在实数M满足；对任意x∈I，都有f（x）≥M且存在x∈R，使得f（x）=M,那么称M是函数y=f（x）的最小值。 2.函数的奇偶性 （1）定义：对于定义域内的任意x，有 ①f（-x）=-f（x）<=>f（x）为奇函数； ②f（-x）=f（x）<=>f（x）为偶函数； （2）性质 ①函数y=f（x）是偶函数<=>y=f（x）的图象关于y轴对称。 函数y=f（x）是奇函数<=>y=f（x）的图象关于原点对称。 ②奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且在x=0处有定义时必有f（0）=0，即f（x）的图象过原点。 ③偶函数在其定义域内适于原点对称的两个区间的单调性相反。 例题讲解 一、函数的概念 1.下列说法中，不正确的是（B） A.函数值域中每一个数都有定义域中的至少一个数与之对应。 B.函数的定义域和值域一定是无限集合。 C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了。 D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素。 二、函数图象的应用 例、设函数f（x）=x2-2∣x∣-1（-3≤x≤3）, （1）证明f（x）是偶函数；（2）画出这个函数的图象； （3）指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是增函数还是减函数； （4）求函数的值域。 1.设函数f（x）=x2-2∣x∣-1（-3≤x≤3）, （1）证明f（x）是偶数； （1）证明：定义域关于原点对称。 ∵f（-x）=（-x）2-∣-x∣-1 =x2-2∣x∣-1=f（x） 即f（-x）=f（x） ∴f（x）是偶函数。 f（x）=x2-2∣x∣-1（-3≤x≤3） （2）画出这个函数的图象 （2）当x≥0时， f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2, 当x＜0时，f（x）=x2+2x-1=(x+1)2-2, 即f（x）=（x-1）2-2 （0≤x≤3） （x+1）2-2（-3≤x≤0） 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图。 三、函数奇偶性和单调性的应用 1判断函数f（x）=√1-x2/∣x+2∣-2的奇偶性。 解：1-x2≥0 -1≦x≦1 -1≦x≦1且x≠0 ∣x+2∣≠2 x≠0且x≠-4 ∴定义域为[-1.0）υ （0.1] ∴f（x）=（√1-x2）/（x+2）-2=（√1-x2）/x ∵f（-x）=（√1-（-x）2）/-x=-（（√1-x2）/x） 即f（-x）=-f（x） ∴f（x）为奇函数。
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