高中数学第二章2.3《平面向量的基本定理及坐标表示（1）》（必修4）
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《平面向量的基本定理及坐标表示（1）》 教学目标 （1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表达。 教学重点： 平面向量基本定理。 教学难点： 平面向量基本定理的理解与应用。 向量的坐标表示的理解及运算的准确性。 复习引入 如图，有非零向量向量，则与共线的条件是什么？ 向量与非零向量共线条件是： 有且只有一个实数λ，使=λ. 思考： 给定平面内两个向量（→，e1），（→，e2），请你作出向量3（→，e1）+2（→，e2），（→，e1）-2（→，e2）. 平面向量基本定理： 观察如图三个不共线向量（→，e1）、(→，a)、（→，e2），它们之间会有怎样的关系呢？ 将三个向量的起点移到同一点： 归纳： 根据向量共线的条件，存在唯一的一对实数γ1，γ2使得：（→，OM）=γ1（→，e1)，（→，ON）=γ2（→，e2)故（→，a）=γ1（→，e1)+γ2（→，e2). 想一想： 确定一对不共线向量（→，e1)，（→，e2)后，是否平面内任意一个向量都可以用γ1（→，e1)+γ2（→，e2)来表示呢？ 平面向量基本定理： 如果（→，e1)，（→，e2)是同一个平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任意一个向量（→，a），有且只有一对实γ1，γ2数，使（→，a）=γ1（→，e1)+γ2（→，e2). 其中（→，e1)，（→，e2)叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 问题一： 在刚才我们总结的定理中，基底（→，e1)，（→，e2)是不是唯一的呢？ 问题二： 给定基底（→，e1)，（→，e2)之后，任意一个向量（→，a）的表示是不是唯一的呢？ 定理的应用： 例1.如图，已知向量（→，e1）、（→，e2），求作向量（→，a），使（→，a）=-2（→，e1）+3（→，e2）解：。 例2：如图，（→，OA）、（→，OB）不共线，且（→，AP）且（→，AP）=t（→，AB）（t∈R），用（→，OA），（→，OB）表示（→，OP）. 本体的实质是： 已知O、A、B三点不共线，若点P在直线AB上，则（→，OP）=m（→，OA）+n（→，OB），且m+n=1. 向量的夹角： 已知两个非零向量（→，a）、（→，b），作（→，OA）=（→，a），（→，OB）=（→，b），则∠AOB=θ，叫向量（→，a）、（→，b）的夹角. 当θ=0°，（→，a）、（→，b）同向； 当θ=180°，（→，a）、（→，b）反向； 当θ=90°，（→，a）、（→，b）垂直，记作（→，a）⊥（→，b）. 平面向量的坐标表示 在平面坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相等的两个单位向量（→，i），（→，j）作为基底，由平面向量基本定理可知，对任何一向量（→，a），有且只有一对实数x、y使得（→，a）=x（→，i）+y（→，j）. 我们把（x，y）叫做向量（→，a）的直角坐标，记作（→，a）=（x，y）.其中x叫做（→，a）在x轴上的坐标x，y叫做（→，a）在y轴上的坐标，（→，a）=（x，y）叫做向量（→，a）的坐标表示。 平面向量的坐标表示 （1）如图，若|（→，i）|=|（→，j）|=1，以向量（→，i）、（→，j）为基底表示向量（→，a）. （→，a）=2（→，i）+3（→，j）即（→，a）=（2，3） （2）如图，平面内有A、B两点，能否用坐标来表示向量（→，AB）呢？ （→，AB）=（→，OB）-（→，0A） =（4（→，i）+4（→，j））-2（（→，i）+1（→，j）） =（4-2）（→，i）+（4-1）（→，j）=2（→，i）+3（→，j）即：（→，AB）=（2,3） 应用： 例3.如图，用基底（→，i）(→，j)分别表示向量（→，a）、（→，b）、（→，c）、（→，d），并求出他们的坐标.
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