高中数学第二章2.3《幂函数》（必修1）
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《幂函数》问题引入：我们先看几个具体问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=______元。（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=______。（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V=______。（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a=______。（5）如果人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度V=______km/s。若将它们的自变量全部用x来表示，函数值用y来表述，则它们的函数关系式将是什么，分别写出来。定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常量。几点说明：1、对于幂函数，我们只讨论a=1,2,3,1/2,-1时的情形。2、幂函数不像指数函数和对数函数，其定义域随a的不同而不同。幂函数与指数函数的对比式子 a x y指数函数：y=ax 底数 指数 幂值幂函数：y=xa 指数 底数 幂值判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点： 看看未知数x是指数还是底数。例1：判断下列函数是否为幂函数。（1）y=x4 （4）y=x1/2（2）y=1/x2 （5）y=2x2（3）y=-x2 （6）y=x3+21、幂函数的解析式必须是y=xk的形式，其特征可归纳为“两个1”：系数为1，只有1项。2、定义域与k的值有关系。作出下列函数的图象：y=x2 y=x3 y=x y=x1/2从图象能得出他们的性质吗？几个幂函数的性质： 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点y=x R R 奇函数 增函数 （0,0）（1,1）y=x2 R y≥0 偶函数 （0,0）（1,1）y=x3 R R 奇函数 增函数 （0,0）（1,1）y=x1/2 x≥0 y≥0 非奇非偶 增函数 （0,0）（1,1）y=x-1x≠0 y≠0 奇函数 （1,1）幂函数的性质：幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中k的不同而各异。1、所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过（1,1）；2、如果k＞0，则幂函数的图象过点（0,0）（1,1），并在（0，+∞）上为增函数；3、如果k＜0，则幂函数的图象过点（1,1），并在（0，+∞）上为减函数。练习1、求下列幂函数的定义域：（1）y=x2/5 （2）y=x（3）y=x3/4 （4）y=x22、已知幂函数y=f（x）的图象过点（2,√2），试求出这个函数的解析式。3、如果函数f（x）=（m2-m-1）xm2-2m-3是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。例2：证明幂函数f（x）=√x在（0，+∞）上是增函数。思考：已知幂函数y=f（x）的图象过点（2,√2/2），试求出此函数的解析式，并判断奇偶性、单调性。例3：利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8与5.30.8（2）0.20.3与0.30.3（3）2.5-2/5与2.7-2/5（4）（-√2/2）2/3、（-10/7）2/3、1.14/3练习（1）1.30.5_____1.50.5（2）5.1-2_____5.09-2（3）-1.791/4_____-1.811/4（4）（2+a2）-2/3_____2-2/3
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